题目内容

3.已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a2=2,a1,a3,a6成等比数列
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=4anan+1,$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$,数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和为Sn,证明,对一切正整数n,有Sn<$\frac{3}{8}$.

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(2)由bn=$\frac{4(2n+6)(2n+8)}{25}$,可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{25}{16(n+3)(n+4)}$+$\frac{25}{16(n+4)(n+5)}$=$\frac{25}{32}(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5})$,利用“裂项求和”及其不等式的性质即可证明.

解答 (1)解:设等差数列{an}的公差为d≠0,
∵a2=2,a1,a3,a6成等比数列,
∴a1+d=2,${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$,即$({a}_{1}+2d)^{2}={a}_{1}({a}_{1}+5d)$,
解得a1=$\frac{8}{5}$,d=$\frac{2}{5}$,
∴an=$\frac{8}{5}+\frac{2}{5}(n-1)$=$\frac{2n+6}{5}$.
(2)证明:bn=4anan+1=$\frac{4(2n+6)(2n+8)}{25}$,
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{16(n+3)(n+4)}$+$\frac{25}{16(n+4)(n+5)}$=$\frac{25}{32}(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5})$,
∴数列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n项和为Sn=$\frac{25}{32}$$[(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})$+…+$(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4})+(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5})]$
=$\frac{25}{32}(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5})$<$\frac{25}{32}×\frac{9}{20}$=$\frac{5×9}{8×16}$$<\frac{3}{8}$.
∴对一切正整数n,有Sn<$\frac{3}{8}$.

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质,考查了变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网