题目内容

设A、B为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=λ（λ≠0）同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量
m
=（1，0），|
AB
|=6，
AB
•
m
|
m
|
=3，则双曲线的离心率e等于（　　）
A、2
B、
2
3
3
C、2或
3
D、2或
2
3
3
分析：由向量
AB
在x轴上的影射长为3，|
AB
|=6，求出A、B点所在的渐近线与x轴的夹角为60°，再由
b
a
=tan60°或
a
b
=tan60°，由此能够求出双曲线的离心率．
解答：解：向量
AB
在x轴上的影射长为3
而|
AB
|=6，因此A、B点所在的渐近线与x轴的夹角为60°，
有
b
a
=tan60°或
a
b
=tan60°，推出b=
3
a，或a=
3
b，
所以c2=a2+b2=4a2推出e=
c
a
=2，或c2=a2+b2=
4
3
a2，推出e=
c
a
=
2
3
3
．
故选D．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
下列说法正确的是（　　）
A、命题“Ex∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”
B、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
C、设A、B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线
D、命题：“过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，设O为坐标原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆”的逆否命题为真命题
下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号
②③
②③
．（写出所有真命题的序号）．
①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆x2+
y2
35
=1有相同的焦点．
设A、B是双曲线x2-
y22
=1的两点，若线段AB的中点为N（1，2）
（1）求直线AB的方程；
（2）求线段AB的长度．
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线x2-
y2
2
=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为
①④
①④
（写出所有真命题的序号）．

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