题目内容
9．已知数列{an}与{bn}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$，n∈N*，且a1=2，a2=4．（1）求a3，a4，a5的值；
（2）设cn=a2n-1+a2n+1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列．
分析 （1）先化简bn=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$求出bn，令n=1、2、3代入bnan+an+1+bn+1an+2=0，结合条件依次求出a3，a4，a5的值；
（2）根据cn、bn的表达式，令n=2n-1、2n、2n+1代入bnan+an+1+bn+1an+2=0，列出三个方程并进行化简得到{an}的递推公式，再根据等比数列的定义证明{cn}是等比数列．
解答 解：（1）由bn=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$得，bn=$\left\{\begin{array}{l}{1，n是奇数}\\{2，n是偶数}\end{array}\right.$，
又a1=2，a2=4，bnan+an+1+bn+1an+2=0，
则当n=1时，b1a1+a2+b2a3=0，解得a3=-3，
当n=2时，b2a2+a3+b3a4=0，解得a4=-5，
当n=3时，b3a3+a4+b4a5=0，解得a5=4；
证明：（2）∵bnan+an+1+bn+1an+2=0，
∴b2n-1a2n-1+a2n+b2na2n+1=0，即a2n-1+a2n+2a2n+1=0，①
b2na2n+a2n+1+b2n+1a2n+2=0，即2a2n+a2n+1+a2n+2=0，②
b2n+1a2n+1+a2n+2+b2n+2a2n+3=0，a2n+1+a2n+2+2a2n+3=0，③
②-③得，a2n=a2n+3，代入①得，a2n-1+a2n+3+2a2n+1=0，
∴a2n-1+a2n+1=-（a2n+1+a2n+3），
∵cn=a2n-1+a2n+1，∴cn=-cn+1，
∵c1=a1+a3=-1，∴cn≠0，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=-1，
∴{cn}是以-1为首项、公比的等比数列．
点评 本题考查等比数列的证明方法：定义法，以及数列的递推公式的化简及应用，考查化简、变形能力．
