Question

已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+

π

3

)图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(

x0

2

)=

3

2

(x0∈[-

π

2

，

π

2

])，求cos(x0-

π

3

)的值；
（3）设

a

=(f(x-

π

6

)，1)，

b

=(1，mcosx)，x∈(0，

π

2

)，若

a

•

b

+3≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，我们易计算出A值，及最小正周期，进而求出ω值，再由函数y=sin(2x+

π

3

)图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上，求出φ值，即可得到f（x）的表达式；
（2）由f(

x0

2

)=

3

2

(x0∈[-

π

2

，

π

2

])，结合（1）中所求的函数解析式，可得cos(x0+

π

3

)=

3

4

，进而求出sin(x0+

π

3

)的值，然后根据两角差的余弦公式，即可求出答案．
（3）由

a

=(f(x-

π

6

)，1)，

b

=(1，mcosx)，x∈(0，

π

2

)，

a

•

b

+3≥0恒成立，要以转化为函数恒成立问题，构造函数，求出其最值，即可得到答案．

解答：解：（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin(2x+

π

3

)与f（x）相差

T

4

+kT，k∈Z，即相差

π

4

+kπ，k∈Z，
所以f(x)=Asin[2(x+

π

4

+kπ)+

π

3

]=Acos(2x+

π

3

)
或f(x)=Asin[2(x-

π

4

+kπ)+

π

3

]=Acos(2x+

4π

3

)（舍），
故f(x)=2cos(2x+

π

3

)．
（2）因为f(

x0

2

)=

3

2

(x0∈[-

π

2

，

π

2

])，即cos(x0+

π

3

)=

3

4

，
因为x0+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，又cos(-

π

6

)=

3

2

＞

3

4

，y=cosx在[-

π

6

，0]单调递增，
所以x0+

π

3

∈[0，

π

2

]，
所以sin(x0+

π

3

)=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，于是

cos(x0- π 3 )=cos(x0+ π 3 - 2π 3 )=cos(x0+ π 3 )cos 2π 3 +sin(x0+ π 3 )sin 2π 3 =- 3 4 • 1 2 + 7 4 • 3 2 = 21 -3 8

（3）因为

a

=(f(x-

π

6

)，1)，

b

=(1，mcosx)，x∈(0，

π

2

)

a

•

b

+3=f(x-

π

6

)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1，
于是4cos²x+mcosx+1≥0，得m≥-4cosx-

1

cosx

对于x∈(0，

π

2

)恒成立，
因为(-4cosx-

1

cosx

)max=-4，
故m≥-4．

点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数恒成立问题，其中根据已知条件，计算出函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

)的解析式是解答本题的关键．