Question

解答题

已知函数f(x)＝x³－x＋c定义在区间[0，1]上，x₁、x₂∈[0，1]且x₁≠x₂．

求证：(1)f(0)＝f(1)；

(2)|f(x₂)－f(x₁)|＜2|x₂－x₁|；

(3)|f(x₂)－f(x₁)|＜1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵f(x)＝x3－x＋c，∴f(0)＝c， 　　∴f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)． 　　(2)|f(x2)－f(x1)|＝|(x23－x2＋c)－(x13－x1＋c)| 　　＝|(x23－x13)－(x2－x1)| 　　＝|x2－x1|·|x22＋x12＋x1x2－1|． 　　∵x1，x2∈[0，1]且x1≠x2， 　　∴x22＋x12＋x1x2∈(0，3)． 　　∴|x22＋x12＋x1x2－1|＜2， 　　∴|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|． 　　(3)∵f(0)＝f(1)， 　　∴|f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)|≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|＜2|x2－1|＋2|0－x1|． 　　又∵x1，x2∈[0，1] 　　∴|f(x2)－f(x1)|＜2(1－x2)＋2x1＝2－2x2＋2x1　　① 　　当x2＞x1时，|f(x2)－f(x1)|＜2|x2－x1|＝2x2－2x1　　② 　　①＋②得|f(x2)－f(x1)|＜1． 　　同理可证，当x2＜x1时，也有|f(x2)－f(x1)|＜1．