Question

如图，设点P从原点沿曲线y=x²向点A（2，4）移动，记直线OP、曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁，S₂，若S₁=S₂，求点P的坐标．

Answer 1

分析：本题考查的定积分的简单应用，先设直线OP的方程为y=kx，P点的坐标为（x，y），利用定积分的几何意义分别求出面积S₁，S₂，再利用：“S₁=S₂，”列出方程解之即得正确的答案．

解答：解：设直线OP的方程为y=kx，P点的坐标为（x，y），
则∫₀^x（kx-x²）dx=∫_x²（x²-kx）dx，
即（

1

2

kx²-

1

3

x³）|₀^x=（

1

3

x³-

1

2

kx²）|_x²，
解得

1

2

kx²-

1

3

x³=

8

3

-2k-（

1

3

x³-

1

2

kx²），
解得k=

4

3

，即直线OP的方程为y=

4

3

x，
所以点P的坐标为（

4

3

，

16

9

）．

点评：解答定积分的计算题，关键是熟练掌握定积分的相关性质：①∫_a^b1dx=b-a②∫_a^bkf（x）dx=k∫_a^bf（x）dx③∫_a^bf（x）±g（x）dx=∫_a^bf（x）dx±∫_a^bg（x）dx．定积分就是求函数F（X）在区间（a，b）中图线下包围 的面积．即 y=0 x=a x=b y=F（X）所包围的面积．