Question

如图，设点P从原点沿曲线y=x²向点A（2，4）移动，记直线OP、曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁，S₂，若S₁=S₂，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

分析：设出直线解析式y=kx，直线OP、曲线y=x²及直线x=2所围成的面积分别记为S₁，S₂，且S₁=S₂，利用定积分分别求出两个面积，让其相等得到关于k的方程，求出k即可得到OP的方程，然后与曲线y=x²联立求出交点即可．

解答：解：设直线OP的方程为y=kx，P点的坐标为（x，y），
则

∫

x 0

 （kx-x²）dx=

∫

2 x

 （x²-kx）dx，
即（

1

2

kx²-

1

3

x³）

.

x 0

=（

1

3

x³-

1

2

kx²）

.

2 x

，
解得

1

2

kx²-

1

3

x³=

8

3

-2k-（

1

3

x³-

1

2

kx²），解得k=

4

3

，
所以直线OP的方程为y=

4

3

x，与y=x²联立求出交点坐标即为点P的坐标（

4

3

，

16

9

）．
故答案为（

4

3

，

16

9

）

点评：考查学生会利用定积分求图形面积的能力．以及会求直线与二次函数的交点坐标．