Question

设A={x∈R||2x-x²|≤x}，B={x∈R||

x

1-x

|≤

x

1-x

}，C={x∈R|ax²+x+b＜0}，若（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，求a，b的值．

Answer 1

分析：分别求出两个集合中的不等式的解集，然后求出A与B的并集，根据（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，得到集合C其实为A∪B在R上的补集，即可得到集合C，即得到ax²+x+b=0的两个根为0和3，根据韦达定理列出方程求出a，b的值即可．

解答：解：|2x-x²|≤x，当x=0时显然成立；
x≠0化简得

2x-x2＞0 2x-x2≤x

或

2x-x2≤0 x2-2x≤x

，
解得1≤x＜2或2≤x≤3，
所以A={x|1≤x≤3}∪{0}；
根据|

x

1-x

|≤

x

1-x

，得到

x

1-x

≥0，
解得x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，
解得0≤x＜1或无解，则B={x|0≤x＜1}，
则A∪B={x|0≤x≤3}
∵（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，
∴C={x|x＜0或x＞3}
∴0，3是方程ax²+x+b=0的两根，
由韦达定理：

0+3=- 1 a 0×3= b a a≠0

解得a=-

1

3

，b=0．

点评：考查学生会进行并集、交集的运算，会根据条件进行推理，会求绝对值不等式和一元二次不等式的解集，以及灵活运用韦达定理解决数学问题的能力．是一道中档题．