Question

如果a，b，c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的（　　）

A．必要而不充分条件

B．充要条件

C．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用韦达定理先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．

解答：解：若P：ac＜0，成立，则判别式△=b²-4ac＞0且两个根x1•x2=

c

a

＜0，
所以q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立；
反之，若q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根成立即个根x1•x2=

c

a

＜0，
所以P：ac＜0成立
所以P：ac＜0，是q：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件
故选B．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．