Question

 如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点.问：
（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；
（2）D₁B和CC₁是否是异面直线？说明理由.

Answer 1

（1）不是异面直线（2）D₁B与CC₁是异面直线

 （1）不是异面直线.理由如下：
∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点.
∴MN∥A₁C₁，
又∵A₁A  D₁D，而D₁D  C₁C，∴A₁A    C₁C，∴四边形A₁ACC₁为平行四边形.
∴A₁C₁∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一个平面内，
故AM和CN不是异面直线.
（2）是异面直线，证明如下：
假设D₁B与CC₁在同一个平面D₁CC₁内，
则B∈平面CC₁D₁，C∈平面CC₁D₁.
∴BC平面CC₁D₁，
这与正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中BC⊥面CC₁D₁相矛盾.
∴假设不成立，故D₁B与CC₁是异面直线.