Question

已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=

5

5

，离心率e=

5

．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A的坐标为(-

5

，0)，B是圆x2+(y-

5

)2=1上的点，点M在双曲线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程，根据准线方程和离心率求得a和c，进而求得b．
（Ⅱ）设点D的坐标为(

5

，0)，则点A、D为双曲线的焦点，根据双曲线的性质可得，|MA|-|MD|=2a，进而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B是圆x2+(y-

5

)2=1上的点，推断出|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1，进而通过直线方程与双曲线方程联立求得M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
设c=

a2+b2

，
由准线方程为x=

5

5

得

a2

c

=

5

5

，由e=

5

得

c

a

=

5

解得a=1，c=

5

从而b=2，∴该双曲线的方程为x2-

y2

4

=1；

（Ⅱ）设点D的坐标为(

5

，0)，
则点A、D为双曲线的焦点，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵B是圆x2+(y-

5

)2=1上的点，
其圆心为C(0，

5

)，半径为1，
故|BD|≥|CD|-1=

10

-1
从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1
当M，B在线段CD上时取等号，
此时|MA|+|MB|的最小值为

10

+1
∵直线CD的方程为y=-x+

5

，
因点M在双曲线右支上，故x＞0
由方程组

4x2-y2=4 y=-x+ 5

解得x=

- 5 +4 2

3

，y=

4 5 -4 2

3

所以M点的坐标为(

- 5 +4 2

3

，

4 5 -4 2

3

)

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线与直线的关系．圆锥曲线问题是高考中必考的知识点，故应加强训练．