Question

9．已知函数f（x）=4x²-kx-8在[5，+∞）上是单调递增函数，
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k取（1）问中的最大值时，设g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质建立不等式关系即可．
（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可求出函数的解析式．

解答 解：（1）∵f（x）=4x²-kx-8在[5，+∞）上为增函数，
∴对称轴x=-$\frac{-k}{2×4}$=$\frac{k}{8}$≤5，解得k≤40，
即k的取值范围是{k|k≤40}．
（2）∵k≤40，
∴k的最大值为k=40，此时f（x）=4x²-40x-8，
∵g（x）是定义在R上的奇函数，
∴g（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，则g（-x）=4x²+40x-8=-g（x），
则g（x）=-4x²-40x+8，x＜0，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}-40x-8，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-4{x}^{2}-40x+8，}&{x＜0}\end{array}\right.$，

点评 本题主要考查二次函数的性质，以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性的对称性进行转化是解决本题的关键．