题目内容

19．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），P是椭圆上非x轴上的一点，△PF1F2中，若F2（右焦点）关于∠F1PF2的外角平分线的对称点Q，则点Q的轨迹是（　　）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．线段

分析 延长F1P，与F2Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2，从而解得．

解答 解：由题意，延长F1P，与F2Q的延长线交于M点，连接QO，
∵PQ是∠F2PM的平分线，且PQ⊥MF2；
∴△F2MP中，|PF2|=|PM|且Q为MF2的中点，
由三角形中位线定理，得|OQ|=$\frac{1}{2}$|MF1|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF1|）
∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，（2a是椭圆的长轴），可得|MP|+|PF1|=2a，
∴|OQ|=$\frac{1}{2}$（|MP|+|PF1|）=a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2
∴点Q的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆．
故选：B．

点评 本题在椭圆中求动点Q的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．

练习册系列答案
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13．化简：$\sqrt{1-2sin（π-2）•cos（π-2）}$得（　　）
A．sin2+cos2B．cos2-sin2C．sin2-cos2D．±（cos2-sin2）
10．如图，椭圆 M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线x=±a和y=±b所围成的矩形 A BCD的面积为$32\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若 P为椭圆M上任意一点，O为坐标原点，Q为线段OP的中点，求点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）已知N（1，0），若过点 N的直线l交点Q的轨迹于E，F两点，且$-\frac{18}{7}≤\overrightarrow{{N}{E}}•\overrightarrow{{N}F}≤-\frac{12}{5}$，求直线l的斜率的取值范围．
7．设椭圆M：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知$A（-2，\sqrt{2}）$，F是椭圆M的下焦点，在椭圆M上是否存在点P，使△AFP的周长最大？若存在，请求出△AFP周长的最大值，并求此时△AFP的面积；若不存在，请说明理由．
14．设F1、F2分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则PM+PF1的最大值为15．
4．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若AB=1，则△ABC周长的取值范围（2，3]．
11．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{3}$，左焦点F到右准线l的距离为10，圆G：（x-1）2+y2=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上任意一点，过点P作圆G的切线，切点为Q，过点P作右准线l的垂线，垂足为H，求$\frac{PQ}{PH}$的取值范围；
（3）是否存在以椭圆上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N作圆G的切线（切点为T）都满足$\frac{NF}{NT}=\sqrt{2}$？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由．
8．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A．$y=\frac{1}{x}$B．y=-2|x|C．$y={log_3}{x^2}$D．y=x-x2
9．已知函数f（x）=4x2-kx-8在[5，+∞）上是单调递增函数，
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k取（1）问中的最大值时，设g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

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