题目内容

已知 $数学公式$ ，若f（x）=ax²-4x+2在区间[1，4]上最大值为M（a），，最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）讨论g（a）在 $数学公式$ 上的单调性；
（3）当 $数学公式$ 时，证明2a²+4≥g（a）．

解：（1）f（x）的对称轴为x= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴当x= $\text{[math]}$ 时，f（x）最小为N（a）= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 时，当x=4时最大为M（a）=16a-14
$\text{[math]}$ 时，当x=1时最大为M（a）=a-2
∴ $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ＜0
∴ $\text{[math]}$
证明（3）∵ $\text{[math]}$
∴当a= $\text{[math]}$ 时g（a）最大，最大值为 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
即∵2a²+4≥g（a）_max
∴2a²+4≥g（a）
分析：（1）求出f（x）的对称轴，判断对称轴与区间的关系，求出f（x）的最小值；讨论对称轴与区间中点的位置关系，求出最大值；利用最大值减去最小值求出g（a）
（2）求出a∈ $\text{[math]}$ 时g（a）的导函数，判断出其符号，得到g（a）的单调性．
（3）利用（2）的单调性求出g（a）的最大值；求出二次函数2a²+4的最小值，该最小值大于等于g（a）的最大值，
得证．
点评：本题考查二次函数的最值的求法，其最值取决于对称轴与区间的位置关系、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查等价转化的数学数学方法．