题目内容
已知
，若f（x）=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的解析表达式；
（2）若对一切
都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．
【答案】分析：（1）将f（x）=ax2-2x+1配方化为
，由
可求
，求得N（a）；根据f（x）的对称轴
在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；
（2）对
，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及
的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．
解答：解：（1）
x∈[1，3]
由
知，
．从而
∴当
即
时，M（a）=f（3）=9a-5
当
即
时，M（a）=f（1）=a-1
∴
（2）当
时，
为减函数．
∴
．
要使kg（a）-1＜0恒成立，则
恒成立．而
∴
．
又当
时，
为增函数
∴
要使kg（a）-1＜0恒成立．则
恒成立．而
∴
综上得，
．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．
，由可求，求得N（a）；根据f（x）的对称轴在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；（2）对
，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．解答：解：（1）
x∈[1，3]由
知，．从而∴当
即时，M（a）=f（3）=9a-5当
即时，M（a）=f（1）=a-1∴
（2）当
时，为减函数．∴
．要使kg（a）-1＜0恒成立，则
恒成立．而∴
．又当
时，为增函数∴
要使kg（a）-1＜0恒成立．则
恒成立．而∴
综上得，
．点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．
练习册系列答案
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