Question

（本小题满分12分）

        如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=4

   （1）证明：若F是棱PB的中点，求证：EF//平面PAD；

   （2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，E是CD的中点

∴BE⊥AB，

又PA⊥底面ABCD，

∴BE⊥PA

∴BE⊥平面PAB

∴BE平面PBE

∴平面PBE⊥平面PAB

（2）设PA的中点为M，连接EF、FM、MD

则MF//AB、DE//AB，

∴DE//FM、DE=FM

∴四边形EFMD是平面四边形，

∴EF//DM

又EF平面PAD，DM平面PAD

∴EF//平面PAD

（3）延长BE交AD的延长线于G，则PG

是平面PAD和平面PBE的交线过点A作

AH⊥OB、AN⊥PG，

∵AH⊥平面PAB，

∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角

在Rt△PAB中，PA=4、AB=2

∴

∵E是DC的中点，且AB//CD，

∴AG=2AD=4

∴在Rt△PAG中，AN=，

∴Rt△ANH中，

∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为

或如图，建立空间直角坐标系O—xyz，

B（1，0，0），

则，

设平面PAD的法向量为

则

可得

又

设平面PBE的法向量为

，

=0

可得，取x=1，

平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为