题目内容
已知椭圆:
经过如下五个点中的三个点:
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上不同于点
的两点,若原点在
的外部,且
为直角三角形,求
面积的最大值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为和
关于原点对称,由椭圆的对称性可知
和
在椭圆上。因为
在椭圆上则
和
不在椭圆上。所以
在椭圆上。解方程组可得
的值。(Ⅱ)需讨论哪个角为直角只讨论
和
即可,因为点
的位置没有固定,
和
的情况相同。如当
时,设直线
,联立方程消去消去
得关于
的一元二次方程,由韦达定理得根与系数的关系。根据
,则直线垂直其斜率相乘等于
,列式计算可得
,
则说明原点在
的外部,符合条件,否则不符合条件舍掉。在求
面积时若采用先求弦
再求点
到
的距离最后求面积的方法计算过于繁琐,所以求
的面积时可用分割法,计算较简单。
试题解析:【解析】
(Ⅰ)由知,
和
不在椭圆
上,即椭圆
经过
,
,
.
于是.
所以 椭圆的方程为:
. 2分
(Ⅱ)①当时,设直线
,由
得
.设
,则
,
所以
.
于是,此时
,所以 直线
.
因为,故线段
与
轴相交于
,即原点在线段
的延长线上,即原点在
的外部,符合题设. 6分
所以
.
当时取到最大值
. 9分
②当时,不妨设
.
设直线,由
得
.
所以 或
.
所以,由
,可得直线
.
由得
.
所以.
所以线段与
轴相交于
.
显然原点在线段上,即原点在
的内部,不符合题设.
综上所述,所求的面积的最大值为
. 12分
考点:1、椭圆的对称性和方程;2、直线和椭圆的位置关系问题;3、三角形面积的求法。

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