Question

函数f(x)=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1；
（1）若y=f(x)在x=-2时有极值，求f(x)的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f(x)在[-3，1]上的最大值；
（3）若函数y=f(x)在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围。

Answer 1

解：（1）由，
求导数，得，
过y=f(x)上点 P（1，f(1)）的切线方程为，
即，
而过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1，
故，即，
∵y=f(x)在x=-2时有极值，
故=0，∴-4a+b=-12， ③
由①②③式，联立解得a=2，b=-4，c=5，
∴。
（2），
见下表：

∴，
，
∴f(x)在[-3，1]上最大值为13。
（3）y=f(x)在区间 [-2，1]上单调递增，
又，由（1）知2a+b=0，
∴ 依题意在[-2，1]上恒有，即在[-2，1]上恒成立，
①当时，，∴b≥6；
②当时，，∴；
③当时，，∴0≤b≤6；
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。