Question

判断函数f(x)=

x3(ax-1)

ax+1

(a＞0，a≠1)的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析：判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域，若定义域关于原点对称，则判断f（-x）与f（x）的关系，若f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．

解答：解：f（x）是偶函数．
证明：f（x）定义域为全体实数，关于原点对称．
由于 f（-x）=

(-x)3(a-x-1)

a-x+1

=-

x3( 1 ax -1)

1 ax +1

=-

x3 1-ax ax

1+ax ax

=-

x3(1-ax)

ax+1

=

x3(ax-1 )

ax+1

=f（x）
即对任意的x∈R，f（-x）=f（-x）．
所以f（x）为偶函数．

点评：本题主要考查了函数的两大基本性质之一的函数的奇偶性．用定义判断函数的奇偶性主要两个基本步骤，第一步判断函数的定义域是否关于原点对称，第二步判断f（-x）与f（x）的关系．本题属于中档题目．