题目内容
【题目】函数,
,已知曲线
与
在原点处的切线相同.
(1)求的单调区间;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间为
,单调递增区间为
;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)借助条件确定的表达式,然后求导,解不等式得单调区间;(2)构建新函数,借助最值建立关于
的不等关系.
试题解析:解:(1)∵(
),
,
依题意,,解得
,
∴,
当时,
;当
时,
,
故的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)令,
由(1)知:,∴
,即
,
∴.
(i)若,则
∴在
上是增函数,
∴,
∴成立.
(ii)若,由(1)知
,则
,
由(i)知:,
∴成立.
(iii)若,则
,则
,
显然在
上单调递增,
又,
,
∴在
上存在唯一零点
,
当时,
,所以
在
上单调递减,
从而,即
,
∴在
上单调递减,
从而当时,
,即
,不合题意.
综上,实数的取值范围为
.
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