Question

（2006•重庆一模）一列火车从重庆驶往北京，沿途有n个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个，设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋a_k个（k=1，2，…，n）．
（I）求数列{a_k}的通项公式；
（II）当k为何值时，a_k的值最大，求出a_k的最大值．

Answer 1

分析：（I）a₁=n-1，由题意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），所以a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．由此能求出数列{a_k}的通项公式．
（II）ak=-(k-

n

2

)2+

n2

4

，再由n的奇偶性分类讨论求解a_k的最大值．

解答：解：（I）a₁=n-1，考察相邻两站a_k，a_k-1之间的关系，
由题意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），
∴a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．
依次让k取2，3，4，…，k得k-1个等式，
将这k-1个等式相加，得
a_k=nk-k²（n，k∈N⁺，1≤k≤n）．
（II）ak=-(k-

n

2

)2+

n2

4

，
当n为偶数时，
取k=

n

2

，a_k取得最大值

n2

4

；
当n为奇数时，取k=

n-1

2

或

n+1

2

，
a_k取得最大值

n2-1

4

．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用．