Question

已知函数f（x）的导数f″（x）满足0＜f′（x）＜1，常数a为方程f（x）=x的实数根．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x₀）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根a；
（Ⅱ） 求证：当x＞a时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

解：（I）设f（x）=x有不同于α的实数根β，即f（β）=β，不妨设β＞α，
于是在α与β间必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f′C、∴f′C、=1，这与已知矛盾，∴方程f（x）=x存在唯一实数根α．
（II）令g（x）=x-f（x）
∴g′（x）=1-f′（x）＞0
∴g（x）在定义域上为增函数
又g（α）=α-f（α）=0∴当x＞α时，g（x）＞g（α）=0
∴当x＞α时，f（x）＜x、
（III）不妨设x₁＜x₂，∵0＜f′（x）＜1∴f（x）在定义域上为增函数
由（2）知x-f（x） 在定义域上为增函数、∴x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂）
∴0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|
∵|x₂-x₁|≤|x₂-α|+|x₁-α|＜4
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．
分析：（I）假设f（x）=x有不同于α的实数根β，利用反证法，我们可以证明假设不成立，进而得到方程f（x）=x存在唯一的实数根a；
（II）我们构造函数g（x）=x-f（x），我们可以利用导数法判断出函数g（x）的单调性，进而得到当x＞a时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）不妨设x₁＜x₂，由已知中0＜f′（x）＜1，可以判断出f（x）在定义域上为增函数，结合（II）中的结论，我们可得x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂），进而得到当|x₁-a|＜2，|x₂-a|＜2时，有|f（x₁）-f（x₂）|＜4．
点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，导数的几何意义，其中利用导数法判断函数f（x）的单调性及g（x）=x-f（x）的单调性是解答本题的关键．