题目内容
14、已知函数f（x）的导函数f′（x）=2x-5，且f（0）的值为整数，当x∈（n，n+1]（n∈N*）时，f（x）的值为整数的个数有且只有1个，则n=
2
．分析：首先分析出原函数，再由数论的基本知识点逐一分析．
解答：解：∵f′（x）=2x-5
∴f（x）=x2-5x+C，又f（0）为整数
∴C为整数
又f（n+1）-f（n）=（n+1）2-5（n+1）+C-（n2-5n+C）
=2n-4，n∈N*，
又f（n+1），f（n）均为整数，
若n=1，则f（n+1），f（n+1）+1均为整数，与f（x）的值为整数的个数有且只有1个，矛盾
同理，当n≥3时，f（x）的值为整数的个数不止1个，
∴n=2．
∴f（x）=x2-5x+C，又f（0）为整数
∴C为整数
又f（n+1）-f（n）=（n+1）2-5（n+1）+C-（n2-5n+C）
=2n-4，n∈N*，
又f（n+1），f（n）均为整数，
若n=1，则f（n+1），f（n+1）+1均为整数，与f（x）的值为整数的个数有且只有1个，矛盾
同理，当n≥3时，f（x）的值为整数的个数不止1个，
∴n=2．
点评：本题的解答比较灵活，在捕捉整数这样的信息的时候要充分利用，才能够准确作答．
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