题目内容

已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右准线与一条渐近线交于点M,F是右焦点,若|MF|=1,且双曲线C的离心率e=
6
2

(1)求双曲线C的方程;
(2)过点A(0,1)的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q,且P在A、Q之间,若
AP
AQ
λ≥
1
3
,求直线l斜率k的取值范围.
分析:(1)利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点M,可求点M的坐标,由|MF|=1,可得方程,借助于离心率e=
6
2
及几何量的关系,从而求出双曲线的方程;
(2)将直线与双曲线的方程联立可得(1-2k2)x2-4kx-4=0,,从而可有
△=16k2+16(1-2k2)>0
x1+x2=
-4k
2k2-1
>0
x1x2=
4
2k2-1
>0
1-2k2≠0
,即
1
2
k2<1
且k<0,再根据
AP
AQ
λ≥
1
3
,有
(1+λ)2
λ
=
4k2
2k2-1
=2+
2
2k2-1
,从而可求k的取值范围.
解答:解:(1)由对称性,不妨设M是右准线x=
a2
c
与一渐近线y=
b
a
x
的交点,
其坐标为M(
a2
c
ab
c
),∵|MF|=1,∴
b4
c2
+
a2b2
c2
=1

e=
c
a
=
6
2
b
a
=
e2-1
=
2
2
c2=a2+b2=
3
2
a2

解得a2=2,b2=1,所以双曲线C的方程是
x2
2
-y2=1
;(6分)
(2)设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
y=kx+1
x2-2y2=2
得:(1-2k2)x2-4kx-4=0,
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q,
△=16k2+16(1-2k2)>0
x1+x2=
-4k
2k2-1
>0
x1x2=
4
2k2-1
>0
1-2k2≠0

1
2
k2<1
且k<0①(9分)
又∵
AP
AQ
且P在A、Q之间,λ≥
1
3
,∴x1=λx2
1
3
≤λ<1

(1+λ)x2=
-4k
2k2-1
λ
x
2
2
=
4
2k2-1
(1+λ)2
λ
=
4k2
2k2-1
=2+
2
2k2-1

f(λ)=
(1+λ)2
λ
=λ+
1
λ
+2
[
1
3
,1)
上是减函数(∵f′(λ)<0),
4<f(λ)≤
16
3

4<2+
2
2k2-1
16
3
,由于k2
1
2
,∴
4
5
k2<1
②(12分)
由①②可得:-1<k≤-
2
5
5
,(13分)
即直线l斜率取值范围为(-1,-
2
5
5
]
(14分)
点评:本题考查双曲线标准方程的求解,关键是寻找几何量之间的关系,考查直线与双曲线的位置关系,通过联立方程组,借助于根与系数的关系,从而使问题得解.
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