题目内容
已知双曲线C:x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点A(0,1)的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q,且P在A、Q之间,若
AP |
AQ |
1 |
3 |
分析:(1)利用双曲线的右准线与一条渐近线交于点M,可求点M的坐标,由|MF|=1,可得方程,借助于离心率e=
及几何量的关系,从而求出双曲线的方程;
(2)将直线与双曲线的方程联立可得(1-2k2)x2-4kx-4=0,,从而可有
,即
<k2<1且k<0,再根据
=λ
且λ≥
,有
=
=2+
,从而可求k的取值范围.
| ||
2 |
(2)将直线与双曲线的方程联立可得(1-2k2)x2-4kx-4=0,,从而可有
|
1 |
2 |
AP |
AQ |
1 |
3 |
(1+λ)2 |
λ |
4k2 |
2k2-1 |
2 |
2k2-1 |
解答:解:(1)由对称性,不妨设M是右准线x=
与一渐近线y=
x的交点,
其坐标为M(
,
),∵|MF|=1,∴
+
=1,
又e=
=
∴
=
=
,c2=a2+b2=
a2,
解得a2=2,b2=1,所以双曲线C的方程是
-y2=1;(6分)
(2)设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
得:(1-2k2)x2-4kx-4=0,
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q,
∴
∴
<k2<1且k<0①(9分)
又∵
=λ
且P在A、Q之间,λ≥
,∴x1=λx2且
≤λ<1,
∴
∴
=
=2+
,
∵f(λ)=
=λ+
+2在[
,1)上是减函数(∵f′(λ)<0),
∴4<f(λ)≤
,
∴4<2+
≤
,由于k2>
,∴
≤k2<1②(12分)
由①②可得:-1<k≤-
,(13分)
即直线l斜率取值范围为(-1,-
](14分)
a2 |
c |
b |
a |
其坐标为M(
a2 |
c |
ab |
c |
b4 |
c2 |
a2b2 |
c2 |
又e=
c |
a |
| ||
2 |
b |
a |
e2-1 |
| ||
2 |
3 |
2 |
解得a2=2,b2=1,所以双曲线C的方程是
x2 |
2 |
(2)设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
|
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q,
∴
|
∴
1 |
2 |
又∵
AP |
AQ |
1 |
3 |
1 |
3 |
∴
|
(1+λ)2 |
λ |
4k2 |
2k2-1 |
2 |
2k2-1 |
∵f(λ)=
(1+λ)2 |
λ |
1 |
λ |
1 |
3 |
∴4<f(λ)≤
16 |
3 |
∴4<2+
2 |
2k2-1 |
16 |
3 |
1 |
2 |
4 |
5 |
由①②可得:-1<k≤-
2
| ||
5 |
即直线l斜率取值范围为(-1,-
2
| ||
5 |
点评:本题考查双曲线标准方程的求解,关键是寻找几何量之间的关系,考查直线与双曲线的位置关系,通过联立方程组,借助于根与系数的关系,从而使问题得解.

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