题目内容
(2011•黑龙江一模)设不等式组
表示的平面区域为A,不等式y≥ax2+b(b<0,b为常数)表示的平面区域为B,P(x,y)为平面上任意一点,p:点P(x,y)在区域A内,q:点P(x,y)在区域B内,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
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分析:先画出由不等式组
表示的平面区域A;再由p是q的充分不必要条件,知点P(x,y)在区域A内则必在平面区域B内,而反之不成立,则可求出a的取值范围.
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解答:
解:画出由不等式组
表示的平面区域A,
又p是q的充分不必要条件,即点P(x,y)在区域A内则必在平面区域B内,
由于不等式y≥ax2+b(b<0,b为常数)表示的平面区域B表示抛物线y=ax2+b的阴影部分,根据图形得,只须点A(1,1)在y≥ax2+b表示的区域内即可,即1≥a×12+b
所以a≤1-b.
故选D.

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又p是q的充分不必要条件,即点P(x,y)在区域A内则必在平面区域B内,
由于不等式y≥ax2+b(b<0,b为常数)表示的平面区域B表示抛物线y=ax2+b的阴影部分,根据图形得,只须点A(1,1)在y≥ax2+b表示的区域内即可,即1≥a×12+b
所以a≤1-b.
故选D.
点评:本题考查充要条件,求解的关键是正确理解充分不必要条件的含义,并能根据其含义对所给的条件进行正确转化.

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