题目内容
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
sinxcos(x+
)+
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
，b=2，求△ABC的面积S．
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
| 3 |
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为
sin(2x+
)，由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，求得x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（A）=0，求出A=
或A=
，再由三角形中大边对大角得A=
，由正弦定理求得sinB=1，则B=
，C=
，由S=
absinC求得结果．
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）由f（A）=0，求出A=
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）f(x)=
sinx(cosxcos
-sinxsin
)+
=
sinxcosx-
sin2x+
=
sin2x+
cos2x=
sin(2x+
)…（3分）
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z． …（6分）
（2）∵f（A）=0，∴
sin(2A+
)=0，解得A=
或A=
，又a＜b，故A=
．…（8分）
由
=
，得sinB=1，则B=
，C=
，…（10分）
所以S=
absinC=
．…（12分）
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
=
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）∵f（A）=0，∴
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
由
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
所以S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查正弦定理，二倍角公式，已知三角函数值求角的大小，正弦函数的单调性，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
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