Question

【题目】某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据电影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需要给电影院一个合适的票价，基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本是5750元，票房收入必须高于成本．用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该电影放映一场的纯收入（除去成本后的收入）． （Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）票价定为多少时，电影放映一场的纯收入最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设每张票价为x元 当x≤10时，y=1000x﹣5750
由1000x﹣5750＞0得：x＞5.75，又x是整数，∴x≥6
当x＞10时，y=[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750=﹣30x2+1300x﹣5750
由﹣30x2+1300x﹣5750＞0得：5＜x＜38 ，∴10＜x≤38
∴y=
（Ⅱ）解：若x≤10，y=1000x﹣5750是增函数，∴x=10时，y有最大值4250
若x＞10，y=﹣30x2+1300x﹣5750，x= = 时，y最大
又x是整数，当x=21时，y=8320，当x=22时，y=8330
∴每张票价定为22元时，放映一场的纯收入最大．
【解析】（Ⅰ）设每张票价为x元，通过当x≤10时，求出y=1000x﹣5750，利用1000x﹣5750＞0得x≥6，当x＞10时，求出y=﹣30x2+1300x﹣5750，得到10＜x≤38，写出函数的解析式． （Ⅱ）利用分段函数的解析式分别求解函数的最值．