题目内容
设是一个自然数,
是
的各位数字的平方和,定义数列
:
是自然数,
(
,
).
(1)求,
;
(2)若,求证:
;
(3)当时,求证:存在
,使得
.
(1),
;(2)证明过程详见解析;(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题是一道新定义题,主要考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力和转化能力.第一问,由于是a的各位数字的平方和,所以
,
;第二问,通过题干中给出的
的定义设出
的值,利用
,得到
的值,然后用作差法比较
和
的大小;第三问,由已知条件
,由于
且
,得
,由归纳推理得
,再用数学归纳法证明一下,因此存在
(
),有
,再分类讨论p、q的情况,得出结论.
(1);
. 5分
(2)假设是一个
位数(
),
那么可以设,
其中且
(
),且
.
由可得,
.
所以
.
因为,所以
.
而,
所以,即
. 9分
(3)由,即
,可知
.
同理,可知
.
由数学归纳法知,对任意,有
.
即对任意,有
.
因此,存在(
),有
.
则,
, ,
,
可得对任意,
,有
.
设,即对任意
,有
.
若,取
,
,则有
.
若,由
,可得
,
取,
,则有
. 14分
考点:归纳推理、数学归纳法、分类讨论思想.

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