Question

（Ⅰ）设｛a_n｝是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁＝3，a₂＝5，a₃＝6，a₄＝9，a₅＝10，a₆＝12，……

将数列｛a_n｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;

（ii）求a₁₀₀．

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

设｛b_n｝是集合中所有的数从小到大排列成的数列，已知b_k =1160，求k．

Answer 1

（Ⅰ）解：（i）第四行    17   18   20   24

              第五行    33   34   36   40   48

（ii）解法一：设，只须确定正整数t₀，s₀

数列｛a_n｝中小于的项构成的子集为，

其元素个数为   

依题意      

满足上式的最大整数t₀为14，所以取t₀＝14．

因为，由此解得s₀＝8．∴ a ₁₀₀＝2¹⁴＋2⁸＝16640．

解法二：n为a_n的下标．

三角形数表第一行第一个元下标为1．

第二行第一个元下标为

          ……

第t行第一个元下标为第t行第s个元下标为该元等于2^t＋2^t-1．

据此判断a₁₀₀所在的行．

因为，所以a₁₀₀是三角形表第14行的第9个元

         a₁₀₀＝2¹⁴＋2^9-1＝16640．

（Ⅱ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）

解：b_k＝1160＝2¹⁰＋2⁷＋2³．

令 M＝｛c∈B | c <1160｝  （其中，B＝）．

因M＝｛c∈B | c <2¹⁰｝∪｛c∈B | 2¹⁰ < c<2¹⁰＋2⁷｝ ∪｛c∈B | 2¹⁰＋2⁷< c<2¹⁰＋2⁷＋2³｝．

现在求M的元素个数：  ｛c∈B | c <2¹⁰｝＝，

其元素个数为; ｛c∈B | 2¹⁰ < c <2¹⁰＋2⁷｝＝｛2¹⁰＋2^s＋2^r | 0≤r<s<7｝

其元素个数为;  ｛c∈B | 2¹⁰＋2⁷ < c <2¹⁰＋2⁷＋2³ ｝＝｛2¹⁰＋2⁷＋2^r | 0≤r<3｝，

其元素个数为．