题目内容

  已知函数f(x)定义域为[0,1],且同时满足

  (1)对于任意x∈[0,1],且同时满足;

  (2)f(1)=4;

  (3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1x2)≥f(x1)+f(x2)-3.

(Ⅰ)试求f(0)的值;

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)设数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn(an-3),n∈N*

求证:f(a1)+f(a2)+…+f(an)<log3

答案:
解析:

  解答:(Ⅰ)令x1x2=0,则有f(0)≥2f(0)-3,即f(0)≤3.

  又对任意x∈[0,1],总有f(x)≥3,所以f(0)=3.

  (Ⅱ)任取x1x2∈[0,1],x1x2

  f(x2)=f[x1+(x2x1)]≥f(x1)+f(x2x1)-3.

  因为0<x2x1≤1,∴f(x2x1)≥3.

  ∴f(x2)≥f(x1)+3-3=f(x1).

  ∴当x∈[0,1]时,f(x)≤f(1)=4,所以函数f(x)的最大值为4.

  (Ⅲ)当n>1时,an=Sn―Sn-1(an-3)-(an-1―3),∴

  ∴数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列.

  an=1×()n-1

  f(1)=f[3n-1·]=f[+(3n-1-1)×]≥f()+f[(3n-1-1)]-3≥…

  4≥3n-1f()-3n+3.

  ∴f()≤=3+,即f(an)≤3+

  ∴f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤(3+)+(3+)+…+(3+)

  =3n=3n<3n=3(n).

  又log3log333·32n-2(2n+1)=3(n),

  ∴原不等式成立.


提示:

  分析:(Ⅰ)令xy=0赋值法和不等号的性质求f(0)的值;(Ⅱ)证明函数f(x)在[0,1]上的单调性求f(x)的最大值;(Ⅲ)先根据条件求数列{an}的通项公式,利用条件f(x1x2)≥f(x1)+f(x2)-3放大f(),再利用求和的方法将f(a1)+f(a2)+…+f(an)放大,证明不等式成立.

  说明:这是一道涉及函数的单调性的应用、不等式的证明、数列的通项与求和的综合性题,难度较大,对思维能力要求较高,要求具有熟练掌握函数单调性的证明方法、数列求和和放缩法证明不等式等推理能力.


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