题目内容
下列四个结论:(1)命题“平行四边形是矩形”的否定是真命题;
(2)已知an=n2-λn,若数列{an}是增数列,则λ≤2;
(3)等比数列{an}是增数列的充要条件是a1<a2<a3;
(4)△ABC中,sinA>sinB的充要条件是cosA<cosB.
其中正确的有( )
(2)已知an=n2-λn,若数列{an}是增数列,则λ≤2;
(3)等比数列{an}是增数列的充要条件是a1<a2<a3;
(4)△ABC中,sinA>sinB的充要条件是cosA<cosB.
其中正确的有( )
分析:(1)写出命题“平行四边形是矩形”的否定再做判断;
(2)由a n=n2-λn,数列{an}是增数列,知an+1-an=(n+1)2-λ(n+1)-n2+λn=2n+1-λ>0恒成立.
(3)和(4)既要研究必要性,又要分析充分性.
(2)由a n=n2-λn,数列{an}是增数列,知an+1-an=(n+1)2-λ(n+1)-n2+λn=2n+1-λ>0恒成立.
(3)和(4)既要研究必要性,又要分析充分性.
解答:解:(1)命题“平行四边形是矩形”的否定是:
“如果一个四边形不是平行四边形,则这个四边形不是矩形”,它是真命题,故(1)正确;
(2)∵a n=n2-λn,数列{an}是增数列,
∴an+1-an=(n+1)2-λ(n+1)-n2+λn=2n+1-λ>0恒成立.
只要2n+1-λ的最小值大于0即可,
∴3-λ>0.∴λ<3.故(2)不正确;
(3){an}是等比数列,
则由“a1<a2<a3”可得数列{an}是递增数列,故充分性成立.
若数列{an}是递增数列,则一定有a1<a2<a3,故必要性成立.
∴等比数列{an}是增数列的充要条件是a1<a2<a3.故(3)正确;
(4)必要性:在△ABC中,“cosB>cosA”,由余弦函数在(0,π)是减函数,故有B<A,
若A不是钝角,显然有“sinB<sinA”成立,
若A是钝角,因为A+B<π,故有B<π-A<
,故有sinB<sin(π-A)=sinA
综上,“cosB>cosA”可以推出“sinB<sinA”
充分性:由“sinB<sinA”
若A是钝角,在△ABC中,显然有0<B<A<π,可得,“cosB>cosA”
若A不是钝角,显然有0<B<A<
,此时也有cosB>cosA,
综上,“sinB<sinA”推出“cosB>cosA”成立
故△ABC中,sinA>sinB的充要条件是cosA<cosB.故(4)正确.
故选D.
“如果一个四边形不是平行四边形,则这个四边形不是矩形”,它是真命题,故(1)正确;
(2)∵a n=n2-λn,数列{an}是增数列,
∴an+1-an=(n+1)2-λ(n+1)-n2+λn=2n+1-λ>0恒成立.
只要2n+1-λ的最小值大于0即可,
∴3-λ>0.∴λ<3.故(2)不正确;
(3){an}是等比数列,
则由“a1<a2<a3”可得数列{an}是递增数列,故充分性成立.
若数列{an}是递增数列,则一定有a1<a2<a3,故必要性成立.
∴等比数列{an}是增数列的充要条件是a1<a2<a3.故(3)正确;
(4)必要性:在△ABC中,“cosB>cosA”,由余弦函数在(0,π)是减函数,故有B<A,
若A不是钝角,显然有“sinB<sinA”成立,
若A是钝角,因为A+B<π,故有B<π-A<
π |
2 |
综上,“cosB>cosA”可以推出“sinB<sinA”
充分性:由“sinB<sinA”
若A是钝角,在△ABC中,显然有0<B<A<π,可得,“cosB>cosA”
若A不是钝角,显然有0<B<A<
π |
2 |
综上,“sinB<sinA”推出“cosB>cosA”成立
故△ABC中,sinA>sinB的充要条件是cosA<cosB.故(4)正确.
故选D.
点评:本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,解题的关键是掌握充要条件的判断方法,利用原命题真假证充分性,逆命题的真假证明必要性,本题中有一个易混点,即没有搞清谁是谁的充要条件导致证明充分性与必要性交换,逻辑混乱,证明此类题时一定要搞清谁是谁的充要条件,一个易行的办法是,找出所涉及的命题来,用证明原命题的真假来证明充分性,用证明逆命题的真假来证明必要性.
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