Question

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有下列四个结论：
（1）AC⊥BD                     （2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD的夹角成60°   （4）AB与CD所成的角为60°
其中正确的命题有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据已知中正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，我们以O点为坐标原点建立空间坐标系，求出ABCD各点坐标后，进而可以求出相关直线的方向向量及平面的法向量，然后代入线线夹角，线面夹角公式，及模长公式，分别计算即可得到答案．

解答：解：连接AC与BD交于O点，对折后如图所示，令OC=1
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）
则

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），∵

AC

• 

BD

 =0，∴AC⊥BD，故（1）正确；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=2|，∴△ACD为正三角形，故（2）正确；
∵

OA

为平面BCD的一个法向量，根据正方形的性质，易得AB与平面BCD所成角为45°，故（3）错误；

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），则|cos＜

AB

，

CD

＞=

AB •  CD

| AB || CD |

=

1

2

，∴AB与CD所成角为60°，故（4）正确；
故正确的命题为：（1）（2）（4）
故选C．

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查空间中直线与平面之间的位置关系，根据已知条件构造空间坐标系，将空间线线夹角，线面夹角转化为向量的夹角问题是解题的关键．