题目内容

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数 $数学公式$ ； $数学公式$ ．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

解：（1）当a=1时， $\text{[math]}$
因为f（x）在（-∞，0）上递减，所以f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．（4分）
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．（5分）
-3≤f（x）≤3， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上恒成立（6）
∴ $\text{[math]}$ （7分）
设2^x=t， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由x∈[0，+∞）得t≥1，
设1≤t₁＜t₂， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，（9分）
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1
所以实数a的取值范围为[-5，1]．（10分）
（3） $\text{[math]}$ ，
∵m＞0，x∈[0，1]
∴g（x）在[0，1]上递减，（12分）
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即 $\text{[math]}$ （13分）
①当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，（12分）
此时 $\text{[math]}$ ，（14分）
②当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ ，
综上所述，当 $\text{[math]}$ 时，T（m）的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，T（m）的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，+∞）（16分）
分析：（1）当a=1时，易知f（x）在（-∞，0）上递减，有f（x）＞f（0）=3，再有给出的定义判断；
（2）由函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，结合定义则有|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，再转化为 $\text{[math]}$ 在[0，+∞）上恒成立 $\text{[math]}$ 即可；
（3）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T（m）不小于最大值，从而解决．
点评：本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．