题目内容

10．等差数列{an}中，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，若其前n项和Sn有最大值，则当Sn取最小正值时，n=（　　）
A．18B．19C．20D．21

分析 由数列的前n项和Sn有最大值，可知数列为递减数列，再由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，可得a11＜0，a10＞0，a10+a11＜0，然后结合二次函数的性质求得使Sn取最小正值时的n值．

解答 解：∵等差数列{an}中，它的前n项和Sn有最大值，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，
∴a1＞0，公差d＜0，
由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得$\frac{{a}_{11}+{a}_{10}}{{a}_{10}}＜0$，
∴a11＜0，a10＞0，a10+a11＜0．
∴Sn=an2+bn中其对称轴n=-$\frac{b}{2a}$=10，
又S19=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=19a10＞0，而S20=$\frac{20（{a}_{10}+{a}_{11}）}{2}$＜0，
1与19距离对称轴n=10的距离相等，
∴S1=S19．
∴使Sn取得最小正数的n=1或n=19．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数求最值的方法，是中档题．

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