题目内容

已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N+)

经计算得f(2)=
3
2
,f(4)>2,f(8)
5
2
,f(16)>3,f(32)
7
2
,通过观察,我们可以得到一个一般性的结论.
(1)试写出这个一般性的结论;
(2)请证明这个一般性的结论;
(3)对任一给定的正整数a,试问是否存在正整数m,使得1+
1
2
+
1
3
+…+
1
m
>a
?若存在,请给出符合条件的正整数m的一个值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据条件通过观察,可以得到一个一般性的结论 f(2n)≥
n+2
2
,(当且仅当n=1时取等号).
(2)用数学归纳法证明,检验n=1时等式成立,假设n=k时成立,证明当n=k+1时,等式也成立.
 (3)由(2)可得,存在m满足条件,a=1+
1
2
k
,只要 
1
m
1
2k
 即可,从而得到m的取值范围,借口求得m的值
解答:解:(1)根据f(2)=
3
2
,f(4)>2,f(8)
5
2
,f(16)>3,f(32)
7
2
,通过观察,
我们可以得到一个一般性的结论 f(2n)≥
n+2
2
,(当且仅当n=1时取等号).…(4分)
(2)证明:(数学归纳法)
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时成立,即
1
2
 +
1
3
+
1
4
+…+
1
2k
≥1+
1
2
k
,…(2分)
当n=k+1时,左边=
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2k
+…+
1
2k
≥1+
1
2
k
+
1
2k+1
+
1
2k+2
+…+
1
2k+2k
  
≥1+
1
2
k
+
2k
2k+2k
=1+
1
2
(k+1)
=右边.
即当n=k+1时,f(2n)≥1+
1
2n
 也成立.…(3分)
由①②知,f(2n)≥1+
1
2n
  成立. …(1分)
(3)由(2)可得,存在m满足条件.…(1分)
令 a=1+
1
2
k
,只要 
1
m
1
2k
 即可,即
1
m
1
22a-2
=
4
22a
,即 m≥
22a
4

可取 m=22a.…(3分)
点评:本题主要考查的知识点是归纳推理,由特殊的列子得到一般性的结论,用数学归纳法证明不等式,属于难题.
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