题目内容
已知f(n)=1+
+
+…+
(n∈N+).
经计算得f(2)=
,f(4)>2,f(8)>
,f(16)>3,f(32)>
…,通过观察,我们可以得到一个一般性的结论.
(1)试写出这个一般性的结论;
(2)请证明这个一般性的结论;
(3)对任一给定的正整数a,试问是否存在正整数m,使得1+
+
+…+
>a?若存在,请给出符合条件的正整数m的一个值;若不存在,请说明理由.
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
经计算得f(2)=
3 |
2 |
5 |
2 |
7 |
2 |
(1)试写出这个一般性的结论;
(2)请证明这个一般性的结论;
(3)对任一给定的正整数a,试问是否存在正整数m,使得1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
m |
分析:(1)根据条件通过观察,可以得到一个一般性的结论 f(2n)≥
,(当且仅当n=1时取等号).
(2)用数学归纳法证明,检验n=1时等式成立,假设n=k时成立,证明当n=k+1时,等式也成立.
(3)由(2)可得,存在m满足条件,a=1+
k,只要
≥
即可,从而得到m的取值范围,借口求得m的值
n+2 |
2 |
(2)用数学归纳法证明,检验n=1时等式成立,假设n=k时成立,证明当n=k+1时,等式也成立.
(3)由(2)可得,存在m满足条件,a=1+
1 |
2 |
1 |
m |
1 |
2k |
解答:解:(1)根据f(2)=
,f(4)>2,f(8)>
,f(16)>3,f(32)>
…,通过观察,
我们可以得到一个一般性的结论 f(2n)≥
,(当且仅当n=1时取等号).…(4分)
(2)证明:(数学归纳法)
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时成立,即
+
+
+…+
≥1+
k,…(2分)
当n=k+1时,左边=
+
+
+…+
+…+
≥1+
k+
+
+…+
≥1+
k+
=1+
(k+1)=右边.
即当n=k+1时,f(2n)≥1+
也成立.…(3分)
由①②知,f(2n)≥1+
成立. …(1分)
(3)由(2)可得,存在m满足条件.…(1分)
令 a=1+
k,只要
≥
即可,即
≥
=
,即 m≥
,
可取 m=22a.…(3分)
3 |
2 |
5 |
2 |
7 |
2 |
我们可以得到一个一般性的结论 f(2n)≥
n+2 |
2 |
(2)证明:(数学归纳法)
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时成立,即
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2k |
1 |
2 |
当n=k+1时,左边=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2k |
1 |
2×2k |
1 |
2 |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+2 |
1 |
2k+2k |
≥1+
1 |
2 |
2k |
2k+2k |
1 |
2 |
即当n=k+1时,f(2n)≥1+
1 |
2n |
由①②知,f(2n)≥1+
1 |
2n |
(3)由(2)可得,存在m满足条件.…(1分)
令 a=1+
1 |
2 |
1 |
m |
1 |
2k |
1 |
m |
1 |
22a-2 |
4 |
22a |
22a |
4 |
可取 m=22a.…(3分)
点评:本题主要考查的知识点是归纳推理,由特殊的列子得到一般性的结论,用数学归纳法证明不等式,属于难题.
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