Question

9．集合A={1，2，3，…，2n，2n+1}的子集B满足，对任意的x，y∈B，x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．

Answer 1

分析 通过数学归纳法证明即可．

解答 解：集合B中元素个数的最大值为n+1．
取B={1，3，5，…，2n+1}，则此集合中任意两个数之和为偶数，符合题意．
下面证明取A中任何n+2个元素组成的集合B，一定有两个数之和仍然在B中．
用数学归纳法证明．
当n=1时，A={1，2，3}，取A中3个元素的集合B={1，2，3}，显然有1+2=3，结论成立．
假设n时结论成立，即A={1，2，3，…，2n，2n+1}中任意n+2个元素的集合B必有两个数之和仍在B中．
对于n+1时，A={1，2，3，…，2n+1，2n+2，2n+3}，从A中任取n+3个元素组成集合B．
下面证明B中必有两个数之和仍在B中．
若所取的n+3个数不含有2n+2或2n+3，那么必在{1，2，3，…，2n，2n+1}中取出n+2个数．
由归纳假设，必有两个数之和在B中，结论成立．
对所取的n+3个数含有2n+2和2n+3，则要在{1，2，3，…，2n，2n+1}取出n+1数．
下面证明2n+3必可以表示成B中的两个数之和．
将1，2，3，…，2n+1，2n+2这2n+2个数分成n+1组（1，2n+2）、（2，2n+1）、（3，2n）、…、（n+1，n+2），
从中取出n+2个数中必有两个数在同一组．
由于2n+3=1+（2n+2）=2+（2n+1）=3+2n=…=（n+1）+（n+2），
故在1，2，3，…，2n，2n+1，2n+2所取的n+2必有两个数之和等于2n+3．
由数学归纳法原理可知集合A中任取n+2个数的集合B，在B中必有两数之和仍在B中．
因此，B中元素个数最大值为n+1．

点评 本题考查了集合问题，考查数学归纳法的证明，是一道中档题．