Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且是与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由是与（a_n+1）²的等比中项，可得，两式相减可求．
（2），故用裂项求和法求解；
（3）先求数列{b_n}的最大值，进而转化为解不等式．从而求出参数范围．
解答：解：（1）当 n≥2时，，
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以数列{a_n}是首项a₁=1，d=2的等差数列，a_n=2n-1；
（2），
相减化简得
（3）∵
当n=1，b₂＞b₁，当n≥2，b_n+1＜b_n，故当n=2时，b₂取到最大值．
又对一切正整数n恒成立，即
解得m≤-1或m≥5
点评：本题主要考查等差数列的定义，裂项求和法及借助于最值解决恒成立问题，属于中档题．