题目内容

(2009•南汇区二模)三位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2
③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有
3
3
分析:函数f(x)=
x
1+|x|
化为分段函数即函数f(x)=
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)
∵f(-x)=-f(x)∴函数f(x)=
x
1+|x|
为奇函数,从而判断函数当x≥0时的性质即可,由值域和单调性可得①②正确,③的正确性可用数学归纳法证明
解答:解:函数f(x)=
x
1+|x|
化为分段函数即函数f(x)=
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)

∵f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)=
x
1+|x|
为奇函数,
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),故①正确
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
为[0,+∞)的单调增函数
∴函数f(x)为R上的单调增函数,
∴若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明:n=1时,命题显然成立;
假设n=k时命题成立,即fk(x)=
x
1+k|x|

则n=k+1时,fk+1(x)=f(fk(x))=
fk(x)
1+k|fk(x)|
=
x
1+k|x|
1+k|
x
1+k|x|
|
=
x
1+(k+1)|x|

即n=k+1时命题成立
fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立
故答案为3
点评:本题考查了函数的值域的求法,函数单调性的定义及判断方法,函数与数列的综合,解题时要紧紧抓住函数的奇偶性解决问题
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