题目内容
(2009•南汇区二模)三位同学在研究函数f(x)=
(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)
③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有
x |
1+|x| |
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)
③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
x |
1+n|x| |
你认为上述三个结论中正确的个数有
3
3
.分析:函数f(x)=
化为分段函数即函数f(x)=
∵f(-x)=-f(x)∴函数f(x)=
为奇函数,从而判断函数当x≥0时的性质即可,由值域和单调性可得①②正确,③的正确性可用数学归纳法证明
x |
1+|x| |
|
x |
1+|x| |
解答:解:函数f(x)=
化为分段函数即函数f(x)=
∵f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)=
为奇函数,
∵x≥0时,f(x)=
=1-
∈[0,1)
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),故①正确
∵x≥0时,f(x)=
=1-
为[0,+∞)的单调增函数
∴函数f(x)为R上的单调增函数,
∴若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明:n=1时,命题显然成立;
假设n=k时命题成立,即fk(x)=
则n=k+1时,fk+1(x)=f(fk(x))=
=
=
即n=k+1时命题成立
∴fn(x)=
对任意n∈N*恒成立
故答案为3
x |
1+|x| |
|
∵f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)=
x |
1+|x| |
∵x≥0时,f(x)=
x |
1+x |
1 |
1+x |
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),故①正确
∵x≥0时,f(x)=
x |
1+x |
1 |
1+x |
∴函数f(x)为R上的单调增函数,
∴若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明:n=1时,命题显然成立;
假设n=k时命题成立,即fk(x)=
x |
1+k|x| |
则n=k+1时,fk+1(x)=f(fk(x))=
fk(x) |
1+k|fk(x)| |
| ||
1+k|
|
x |
1+(k+1)|x| |
即n=k+1时命题成立
∴fn(x)=
x |
1+n|x| |
故答案为3
点评:本题考查了函数的值域的求法,函数单调性的定义及判断方法,函数与数列的综合,解题时要紧紧抓住函数的奇偶性解决问题

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