题目内容
（2009•南汇区二模）1+i是实系数方程x2-ax-b=0的一个虚数根，则直线ax+by=1与圆C：x2+y2=1交点的个数是（ ）
分析：根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，由方程的一个虚根1+i，得到另一根，进而求出a与b的值，确定出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判断d与圆半径r的大小关系，可得出直线与圆的位置关系，即可得到直线与圆交点的个数．
解答：解：由韦达定理（一元二次方程根与系数关系）可得：
x1+x2=a，x1•x2=-b
∵b，c∈R，
x1=1+i，∴x2=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直线方程为2x+2y=1，
由圆心（0，0）到直线的距离d=
=
＜r=1，
得到直线与圆的位置关系是相交，
则直线与圆的交点个数是2个．
故选A
x1+x2=a，x1•x2=-b
∵b，c∈R，
x1=1+i，∴x2=1-i，
∴a=2，b=2，
∴直线方程为2x+2y=1，
由圆心（0，0）到直线的距离d=
| |1| | ||
2
|
| ||
| 4 |
得到直线与圆的位置关系是相交，
则直线与圆的交点个数是2个．
故选A
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，点到直线的距离公式以及直线与圆相交的性质，虚数单位i及其性质，要求学生掌握用d与r的大小来判断直线与圆的位置关系．其中利用复数的运算性质，判断出方程的另一个根为1-i，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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