Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，-2≤x≤0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 化简|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，-2≤x≤0}\\{ln（x+1），0＜x≤2}\end{array}\right.$，从而化g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点为函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；作函数的图象，由数形结合求实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，-2≤x≤0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，-2≤x≤0}\\{ln（x+1），0＜x≤2}\end{array}\right.$，
∵g（x）=|f（x）|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点，
∴函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象有3个不同的交点；
作函数|f（x）|与函数y=ax+a的图象如下，

图中A（-1，0），B（2，ln3），
故此时直线AB的斜率k=$\frac{ln3-0}{2+1}$=$\frac{ln3}{3}$；
当直线AB与f（x）=ln（x+1）相切时，设切点为（x，ln（x+1））；
则$\frac{ln（x+1）-0}{x-（-1）}$=$\frac{1}{x+1}$，
解得，x=e-1；
此时直线AB的斜率k=$\frac{1}{e}$；
结合图象可知，
$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$；
故答案为：$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的关系，同时考查了函数的化简与导数的应用，属于中档题．