Question

△ABC中，角A、B、C的对边依次为a、b、c．已知a=3，b=4，外接圆半径R=

5

2

，c边长为整数，
（1）求∠A的大小（用反三角函数表示）；
（2）求边长c；
（3）在AB、AC上分别有点D、E，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求线段DE长的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理，利用a和外接圆半径求得sinA，进而求得A．
（2）由（1）中的sinA，求得cosA，再利用余弦定理求得c．
（3）根据三边的关系判断三角形为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得AD•AE的值，根据余弦定理的关系式，根据均值不等式求得DE的最小值．

解答：解：（1）

3

sinA

=2R=5，sinA=

3

5

又b＞a∴A为锐角，故A=arcsin

3

5

（2）cosA=

4

5

，由余弦定理得32=42+c2-2•4•c•

4

5

，即c2-

32

5

c+7=0
∴c=5或

7

5

但c为整数，∴c=5
（3）∵3²+4²=5²，∴∠C=90°设AD=x，AE=y，则

1

2

xysinA=

1

2

S△ABC=3
∴xy=10
DE2=x2+y2-2xy•

4

5

≥2xy-2xy•

4

5

=

2

5

xy=4
等号当且仅当x=y=

10

时成立
∴DE_min=2

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的运用．综合考查了学生对解三角形问题的综合把握．