题目内容

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（1）若 $数学公式$ ，且c=2，求△ABC的面积；
（2）已知向量 $数学公式$ =（sinA，cosA）， $数学公式$ =（cosB，-sinB），求| $数学公式$ |的取值范围．

解析：（1）在△ABC中，∵a²+b²=c²+ab，即c²=a²+b²-ab，
∴cosC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，结合C∈（0，π）得C= $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，与C= $\text{[math]}$ 矛盾，故A=B，可得△ABC是等边三角形．
∵c=2，∴△ABC的面积 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）∵向量 $\text{[math]}$ =（sinA，cosA）， $\text{[math]}$ =（cosB，-），
∴ $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
因此， $\text{[math]}$
∵A+B= $\text{[math]}$ ，得A= $\text{[math]}$ -B
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵B∈（0， $\text{[math]}$ ），得 $\text{[math]}$ -2B∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（10分）
∴当 $\text{[math]}$ -2B=- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值-1，此时 $\text{[math]}$ 有最大值9；
当 $\text{[math]}$ -2B= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最大值1，此时 $\text{[math]}$ 有最小值1．
可得 $\text{[math]}$ ，开方得 $\text{[math]}$
故| $\text{[math]}$ |的取值范围[1，3]． …（12分）
分析：（1）根据余弦定理结合题中平方关系的等式，算出cosC= $\text{[math]}$ ，从而得出C= $\text{[math]}$ ．再由正弦定理结合题中比例式，化简可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等边三角形，不难得出△ABC的面积．
（2）首先计算 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =sin（A-B），代入 $\text{[math]}$ 表达式并化简，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，根据角B的取值范围结合正弦函数的单调性，可得 $\text{[math]}$ ，两边开方即得| $\text{[math]}$ |的取值范围．
点评：本题是一道三角函数综合题，着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模的公式，以及运用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．