题目内容
已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
(1)求a的值;
(2)若斜率为24的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程;
(3)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点?若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由.
(1)求a的值;
(2)若斜率为24的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程;
(3)是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点?若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由.
分析:(1)由函数的单调区间知:x=1是函数的极值点,则f′(1)=0,由此可解得a值;
(2)求其切线方程,只需求出切点即可,由题意知f′(x)=24,解出x即为切点横坐标,从而求出切点;
(3)函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点,等价于方程f(x)-g(x)=0有两个不同的解,从而问题转化为讨论方程解的问题解决.
(2)求其切线方程,只需求出切点即可,由题意知f′(x)=24,解出x即为切点横坐标,从而求出切点;
(3)函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个不同交点,等价于方程f(x)-g(x)=0有两个不同的解,从而问题转化为讨论方程解的问题解决.
解答:解:(1)f'(x)=4x3-12x2+2ax,
由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,
知:x=1是函数f(x)的极大值点,所以f'(1)=0,解得a=4.
故a=4.
(2)由(1)知:f'(x)=4x3-12x2+8x,
令f'(x)=24,即x3-3x2+2x-6=0,(x-3)(x2+2)=0,
∴x=3,则切点为(3,8),
此切线方程为:y-8=24(x-3),即y=24x-64.
(3)令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=x4-4x3+(4-b)x2=x2(x2-4x+4-b),
由h(x)=0得:x=0,或x2-4x+4-b=0.--------(*)△=(-4)2-4(4-b)=4b,
①当△<0,即b<0时,(*)无实根,f(x)与g(x)的图象只有1个交点;
②当△=0,即b=0时,(*)的实数解为x=2,f(x)与g (x)的图象有2个交点;
③当△>0,即b>0时,若x=0是(*)的根,则b=4,方程的另一根为x=4,此时,f(x)与g(x)的图象有2个交点;
当b>0且b≠4时,f(x)与g(x)的图象有3个不同交点.
综上,存在实数b=0或4,使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点.
由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,
知:x=1是函数f(x)的极大值点,所以f'(1)=0,解得a=4.
故a=4.
(2)由(1)知:f'(x)=4x3-12x2+8x,
令f'(x)=24,即x3-3x2+2x-6=0,(x-3)(x2+2)=0,
∴x=3,则切点为(3,8),
此切线方程为:y-8=24(x-3),即y=24x-64.
(3)令h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=x4-4x3+(4-b)x2=x2(x2-4x+4-b),
由h(x)=0得:x=0,或x2-4x+4-b=0.--------(*)△=(-4)2-4(4-b)=4b,
①当△<0,即b<0时,(*)无实根,f(x)与g(x)的图象只有1个交点;
②当△=0,即b=0时,(*)的实数解为x=2,f(x)与g (x)的图象有2个交点;
③当△>0,即b>0时,若x=0是(*)的根,则b=4,方程的另一根为x=4,此时,f(x)与g(x)的图象有2个交点;
当b>0且b≠4时,f(x)与g(x)的图象有3个不同交点.
综上,存在实数b=0或4,使函数f(x)与g(x)的图象恰有2个不同交点.
点评:本题考查导数的几何意义及应用导数研究函数的极值、单调性问题,考查了分类讨论思想、函数与方程思想及转化思想在解决问题中的运用.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|