题目内容
已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的长度分别为a1,a2,a3,…,an,其中a1=1.
(1)写出a2,a3和an的表达式;
(2)证明a1+a2+a3+…+an<3;
(3)设点Mn(n,an),在这些点中是否存在两个点同时在函数)的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)由于Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,所以知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1,从而可得,进而利用叠乘即可求出a2,a3和an的表达式;
(2)对通项进行放缩,再求和,利用等比数列的求和公式即可证明;
(3)假设存在,即可得,再证明数列的单调减即可.
解答:解:(1)由已知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1
令n=2,P1P2=P2P3,∴a2=1,同理
∴
(2)∵
∴a1+a2+a3+…+an
而n=1时,结论成立,故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假设有两个点A(p,ap),B(q,aq),都在函数上,即,
所以,,消去k得 ①,以下考查数列的增减情况,
,
当n>2时,n2-3n+1>0,所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在.
点评:本题以线段为载体,考查数列的通项,考查放缩法的运用,考查函数的单调性,综合性强.
(2)对通项进行放缩,再求和,利用等比数列的求和公式即可证明;
(3)假设存在,即可得,再证明数列的单调减即可.
解答:解:(1)由已知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1
令n=2,P1P2=P2P3,∴a2=1,同理
∴
(2)∵
∴a1+a2+a3+…+an
而n=1时,结论成立,故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假设有两个点A(p,ap),B(q,aq),都在函数上,即,
所以,,消去k得 ①,以下考查数列的增减情况,
,
当n>2时,n2-3n+1>0,所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在.
点评:本题以线段为载体,考查数列的通项,考查放缩法的运用,考查函数的单调性,综合性强.
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