题目内容

已知Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,设线段P1P2,P2P3,…,PnPn+1,的长度分别为
a1,a2,a3,…,an,其中a1=1.
(1)写出a2,a3和an的表达式;
(2)证明a1+a2+a3+…+an<3;
(3)设点Mn(n,an),在这些点中是否存在两个点同时在函数y=
k(x-1)2
(k>0
)的图象上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)由于Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点,所以知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1,从而可得
an
an-1
=
1
n-1
,进而利用叠乘即可求出a2,a3和an的表达式;
 (2)对通项进行放缩,再求和,利用等比数列的求和公式即可证明;
(3)假设存在,即可得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
,再证明数列bn=
n2
n!
的单调减即可.
解答:解:(1)由已知Pn-1Pn=(n-1)PnPn-1
令n=2,P1P2=P2P3,∴a2=1,同理a3=
1
2
an
an-1
=
1
n-1

an=
1
n-1
an-1=
1
n-1
1
n-2
an-2=…=
1
(n-1)!

(2)∵
1
(n-1)!
=
1
1×2×…×n
1
2n-2

∴a1+a2+a3+…+an≤1+1+
1
2
+…
1
2n-2
=3-(
1
2
)
n-2
<3

而n=1时,结论成立,故a1+a2+a3+…+an<3;
(3)假设有两个点A(p,ap),B(q,aq),都在函数y=
k
(x-1)2
上,即ap=
k
(p-1)2
aq=
k
(q-1)2

所以
(p-1)2
(p-1)!
=k
(q-1)2
(q-1)!
=k
,消去k得
(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
 ①,以下考查数列bn=
n2
n!
的增减情况,
bn-bn-1=
n2
n!
-
(n-1)2
(n-1)!
=-
n2-3n+1
(n-1)!

当n>2时,n2-3n+1>0,所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p,q使得①式成立,因而不存在.
点评:本题以线段为载体,考查数列的通项,考查放缩法的运用,考查函数的单调性,综合性强.
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