Question

f（x）=ax³-3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，则a的范围为

 

．

Answer 1

分析：本题是关于不等式的恒成立问题，可转化为函数的最值问题来求解，先对x分类讨论：x=0与x≠0，当x≠0即x∈（0，1]时，得到：a≥

3x-1

x3

，构造函数g(x)=

3x-1

x3

，只需需a≥[g（x）]_max，于是可以利用导数来求解函数g（x）的最值．

解答：解：∵x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，
即ax³-3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立
当x=0时，要使不等式恒成立则有a∈（0，+∞）
当x∈（0，1]时，ax³-3x+1≥0恒成立，
即有：a≥

3x-1

x3

在x∈（0，1]上恒成立，令g(x)=

3x-1

x3

，必须且只需a≥[g（x）]_max
由g′(x)=

3(1-2x)

x4

＞0得，x＜

1

2

所以函数g（x）在（0，

1

2

]上是增函数，在[

1

2

，1]上是减函数，所以[g(x)]max=g(

1

2

)=4，即a≥4
综合以上可得：a≥4．
答案为：[4，+∞）．

点评：本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数学思想方法．