题目内容
【题目】已知函数 (
,
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
【答案】(1)见解析(2)的最大值为1.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再根据a的正负讨论导函数符号变化规律,最后根据导函数符号确定极值,(2)先将无交点转化为方程在
上没有实数解,转化为
在
上没有实数解,再利用导数研究
取值范围,即得
,即得
的取值范围是
,从中确定
的最大值.
试题解析:(Ⅰ) ,
①当时,
,
为
上的增函数,所以函数
无极值.
②当时,令
,得
,
.
,
;
,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
故在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值.
综上,当时,函数
无极小值;
当,
在
处取得极小值
,无极大值.
(Ⅱ)当时,
.
直线与曲线
没有公共点,
等价于关于的方程
在
上没有实数解,即关于
的方程:
在
上没有实数解.
①当时,方程
可化为
,在
上没有实数解.
②当时,方程
化为
.
令,则有
令,得
,
当变化时,
的变化情况如下表:
-1 | |||
- | 0 | + | |
↘ | ↗ |
当时,
,同时当
趋于
时,
趋于
,
从而的取值范围为
.
所以当时,方程
无实数解,
解得的取值范围是
.
综上,得的最大值为1.
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