Question

13．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若$p=f（\sqrt{ab}）$，$q=f（\frac{a+b}{2}）$，r=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$，则下列关系式中正确的是（　　）

• A． p=r＜q
• B． q=r＞p
• C． p=r＞q
• D． q=r＜p

Answer 1

分析 根据对数函数的定义与性质，化简p、q、r，利用基本不等式，即可判断它们的大小关系．

解答 解：由题意得，p=f（$\sqrt{ab}$）=ln（$\sqrt{ab}$）=$\frac{1}{2}$ln（ab）=$\frac{1}{2}$（lna+lnb），
q=f（$\frac{a+b}{2}$）=ln（$\frac{a+b}{2}$）≥ln（$\sqrt{ab}$）=p，
r=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$=$\frac{lna+lnb}{2}$=$\frac{1}{2}$（lna+lnb）=p，
∴p=r＜q．
故选：A．

点评 本题考查了不等式与不等关系的应用问题，也考查了基本不等式和对数的应用问题，是基础题目．