Question

（2010•上海模拟）设向量

s

=(x+1，y)，

t

=(y，x-1)(x，y∈R)，满足|

s

|+|

t

 |=2

2

，已知两定点A（1，0），B（-1，0），动点P（x，y），
（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）已知直线m：y=x+t交轨迹C于两点M，N，（A，B在直线MN两侧），求四边形MANB的面积的最大值．
（3）过原点O作直线l与直线x=2交于D点，过点A作OD的垂线与以OD为直径的圆交于点G，H（不妨设点G在直线OD上方），求证：线段OG的长为定值．

Answer 1

分析：（1）由|

s

|+|

t

|=2

2

，知

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，由此能求出动点P（x，y）的轨迹C的方程．
（2）点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，由y=x+t得x=t-y，代入

x2

2

+y2=1可得：3y²-2ty+t²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由于S=

1

2

|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|，故只需求|y₁-y₂|的最大值
（3）设动点D（2，y₀），则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y₀）=0，直线GA：2x+y₀y-2=0，由此得G的轨迹方程是x²+y²=2，从而得到OG=

2

（定值）．

解答：（1）解：∵向量

s

=(x+1，y)，

t

=(y，x-1)(x，y∈R)，满足|

s

|+|

t

 |=2

2

，
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程是以（±1，0）为焦点，以长轴长为2

2

，短轴长为2的椭圆，
∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）解：点A（1，0）和B（-1，0）为C的两个焦点，连接BM，BN，AM，AN
由y=x+t得x=t-y，代入

x2

2

+y2=1可得：3y²-2ty+t²-2=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴y1+y2=

2t

3

，y1y2=

t2-2

3

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4t2 9 -4× t2-2 3

=

2

3

6-2t2

∵A，B在直线MN两侧
∴-1＜t＜1（经过点B时，t=1，经过点A时，t=-1）
∴当t=0时，|y₁-y₂|取得最大值

2

3

6

∵S=

1

2

|AB|×|y1-y2| =|y1-y2|
∴四边形MANB的面积的最大值为

2

3

6

（3）证明：设动点D（2，y₀），
则以OD为直径的圆的方程为x（x-2）+y（y-y₀）=0，①
直线GA：2x+y₀y-2=0，②
由①②联立消去y₀得G的轨迹方程是x²+y²=2，
∴OG=

2

（定值）

点评：本题以向量为载体，考查圆与圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用圆锥曲线的性质进行等价转化．