Question

（2010•上海模拟）已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数．
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi，求出z₁•z₂后，根据实部的概念，可得f（x）关于x的函数解析式，再根据函数f（x）是偶函数，根据偶函数的性质，构造关于k的方程，解方程可求出k的值
（2）利用（1）求出函数y=f（log₂x）的表达式，化简后，通过基本不等式，函数的单调性求出在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；

解答：解：（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i
f（x）=log₂（2^x+1）+kx
设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）恒成立
∴log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-

1

2

（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

1

2

log₂x=log₂

x+1

x

=

log	( x + 1 x ) 2

，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R时，
ymin=

log2( a + 1 a )(0＜a≤1) 1(a＞1)

点评：本题是中档题，以复数为依托，考查函数的奇偶性、单调性，函数的最值的求法，考查计算能力，转化、分类讨论的思想．